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///// vector.h头文件 /////
///// 定义向量及其基本运算 /////
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#include<math.h>
#define MAXLENGTH 10
//向量定义
typedef struct{
int tag; //行列向量标志。行向量为0，列向量为1。
int dimension; //向量的维数
double elem[MAXLENGTH]; //向量的元素
}vector;
vector vecCreat(int tag, int n){
//建立维数为n的向量
vector x;
x.tag=tag;
x.dimension=n;
for(int i=0;i<n;++i){
cout<<"请输入第"<<i+1<<"分量:";
cin>>x.elem[i];
}
return x;
}
double vecMultiply(vector a, vector b){
//行向量与列向量乘法运算
if((a.tag!=b.tag)&&(a.dimension==b.dimension)){//相乘条件
double c=0;
for(int i=0;i<a.dimension;++i)
c+=a.elem[i]*b.elem[i];
return c;
}
}
vector vecAdd(vector a, vector b){
//向量加法运算
if((a.tag==b.tag)&&(a.dimension==b.dimension)){//相加条件
vector c;
c.dimension=a.dimension;
c.tag=a.tag;
for(int i=0;i<c.dimension;++i)
c.elem[i]=a.elem[i]+b.elem[i];
return c;
}
}
vector vecConvert(vector a){
//向量转置
if(a.tag==0)a.tag=1;
if(a.tag==1)a.tag=0;
return a;
}
double vecMole(vector a){
//求向量模
double sum=0;
for(int i=0;i<a.dimension;++i)
sum+=a.elem[i]*a.elem[i];
sum=sqrt(sum);
return sum;
}
vector numMultiply(double n,vector a){
//数乘向量
for(int i=0;i<a.dimension;++i)
a.elem[i]=n*a.elem[i];
return a;
}
void showPoint(vector x, double f){
//显示点，解.
cout<<"--- x=(";
for(int i=0;i<x.dimension;++i){
cout<<x.elem[i];
if(i!=x.dimension-1)cout<<",";
}
cout<<") --- f(x)="<<f<<endl;
cout<<endl;
}
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////////////// function.h头文件 /////////////////////////
//////// 函数及其导数的设置均在此文件完成////////////////
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// * 无 约 束 问 题 * //
// 目标函数--在vecFun(vector vx)中修改,x1改成x[1] //
// x2改成x[2],依此类推... //
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#include <iostream.h>
#include "vector.h"
#define SIZE 10
#define MAX 1e300
double min(double a, double b){
//求两个数最小
return a<b?a:b;
}
double max(double a, double b){
//求两个数最大
return a>b?a:b;
}
vector vecGrad(double (*pf)(vector x),vector pointx){
//求解向量的梯度
//采用理查德外推算法计算函数pf在pointx点的梯度grad;
vector grad;
grad.tag=1; grad.dimension=pointx.dimension;//初始化偏导向量
vector tempPnt1,tempPnt2; //临时向量
double h=1e-3;
for(int i=0;i<pointx.dimension;++i){
tempPnt1=tempPnt2=pointx;
tempPnt1.elem[i]+=0.5*h;
tempPnt2.elem[i]-=0.5*h;
grad.elem[i]=(4*(pf(tempPnt1)-pf(tempPnt2)))/(3*h);
tempPnt1.elem[i]+=0.5*h;
tempPnt2.elem[i]-=0.5*h;
grad.elem[i]-=(pf(tempPnt1)-pf(tempPnt2))/(6*h);
}
return grad;
}
double vecFun(vector vx){
//最优目标多元函数
double x[SIZE];
for(int i=0;i<vx.dimension;++i)
x[i+1]=vx.elem[i];
//----------约束目标函数--------------
//return x[1]*x[1]+x[2]*x[2];
//----------无约束正定函数--------------
//return x[1]*x[1]+4*x[2]*x[2]+9*x[3]*x[3]-2*x[1]+18*x[3];//例一
//----------无约束非二次函数--------------
//return (1-x[1])*(1-x[1])+(1-x[4])*(1-x[4])+(x[1]*x[1]-x[2])*(x[1]*x[1]-x
[2])+(x[2]*x[2]-x[3])*(x[2]*x[2]-x[3])+(x[3]*x[3]-x[4])*(x[3]*x[3]-x[4]);//例二
}
double vecFun_Si(vector vx){
//不等式约束函数
double x[SIZE];
for(int i=0;i<vx.dimension;++i)
x[i+1]=vx.elem[i];
return x[1]+1;//不等式约束函数
}
double vecFun_Hi(vector vx){
//等式约束函数
double x[SIZE];
for(int i=0;i<vx.dimension;++i)
x[i+1]=vx.elem[i];
return x[1]+x[2]-2;//等式约束函数
}
double vecFun_S(vector x,double v,double l,double u){
//约束问题转化为无约束问题的增广目标函数F(x,v,l,u)
double sum1=0,sum2=0,sum3=0;//分别定义三项的和
//sum1
double temp=max(0,v-2*u*vecFun_Si(x));
sum1=(temp*temp-v*v)/(4*u);
//sum2
sum2=l*vecFun_Hi(x);
//sum3
sum3=u*vecFun_Hi(x)*vecFun_Hi(x);
//F(x,v,l,u)=f(x)+sum1-sum2+sum3
return vecFun(x)+sum1-sum2+sum3;
}
vector vecFunD_S(vector x,double v,double l,double u){//利用重载函数实现目标函
数F(x,v,l,u)的导数
//约束问题转化为无约束问题的增广目标函数F(x,v,l,u)的导函数
vector sum1,sum2,sum3;//分别定义三项导数的和
//sum1
sum1.dimension=x.dimension; sum1.tag=1;
sum2.dimension=x.dimension; sum2.tag=1;
sum3.dimension=x.dimension; sum3.tag=1;
double temp=max(0,v-2*u*vecFun_Si(x));
if(temp==0){
for(int i=0;i<sum1.dimension;++i)
sum1.elem[i]=0;
}
else{
sum1=numMultiply(-(v-2*u*vecFun_Si(x)),vecGrad(vecFun_Si,x));
}
//-sum2
sum2=numMultiply(-l,vecGrad(vecFun_Hi,x));
//sum3
sum3=numMultiply(2*u*vecFun_Hi(x),vecGrad(vecFun_Hi,x));
//F=f(x)+sum1-sum2+sum3
return vecAdd(vecAdd(vecGrad(vecFun,x),sum1),vecAdd(sum2,sum3));
}
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///// nonrestrict.h头文件 /////
///// 包含无约束问题的求解函数: 直线搜索 /////
///// 共轭梯度法,H终止准则 /////
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#include "restrict.h"
vector lineSearch(vector x, vector p ,double t){
//从点x沿直线p方向对目标函数f(x)作直线搜索得到极小点x2,t为初始步长。
vector x2;
double l=0.1,n=0.4; //条件1和2的参数
double a=0,b=MAX; //区间
double f1=0,f2=0,g1=0,g2=0;
int i=0; //迭代次数
do{
if(f2-f1>l*t*g1){b=t;t=(a+b)/2;} //改变b,t循环
do{
if(g2<n*g1){a=t;t=min((a+b)/2,2*a);} //改变a,t循环
f1=vecFun(x); //f1=f(x)
g1=vecMultiply(vecConvert(vecGrad(vecFun,x)),p);//g1=∨f(x)*p
x2=vecAdd(numMultiply(t,p),x); //x2=x+t*p
if(i++ && vecFun(x2)==f2){return x2;} //【直线搜索进入无
限跌代，则此次跌代结束。返回当前最优点】
f2=vecFun(x2); //f2=f(x2)
g2=vecMultiply(vecConvert(vecGrad(vecFun,x2)),p); //g2=∨f(x2
)*p
//cout<<"("<<x2.elem[0]<<","<<x2.elem[1]<<","<<x2.elem[2]<<","<<x2
.elem[3]<<");"; //输出本次结果
//cout<<"t="<<t<<";";
//cout<<"f(x)="<<f2<<endl;
}
while(g2<n*g1); //不满足条件ii,则改变a,t循环
}
while(f2-f1>l*t*g1); //不满足条件i,则改变b,t循环
return x2;
}
int Himmulblau(vector x0, vector x1, double f0, double f1){
//H终止准则.给定Xk,Xk+1,Fk,Fk+1,判断Xk+1是否是极小点.返回1是极小,否则返回0
double c1,c2,c3;//定义并初始化终止限
c1=c2=10e-5;
c3=10e-4;
if(vecMole(vecGrad(vecFun,x1))<c3)
if(vecMole(vecAdd(x1,numMultiply(-1,x0)))/(vecMole(x0)+1)<c1)
if(fabs(f1-f0)/(fabs(f0)+1)<c2)
return 1;
return 0;
}
void Fletcher_Reeves(vector xx,vector &minx, double &minf){
//Fletcher-Reeves共轭梯度法.
//给定初始点xx.对vecFun函数求得最优点x和最优解f,分别用minx和minf返回
int k=0,j=0; //迭代次数,j为总迭代次数
double c=10e-1; //终止限c
int n=xx.dimension;//问题的维数
double f0,f,a; //函数值f(x),a为使p方向向量共轭的系数
vector g0,g; //梯度g0,g
vector p0,p; //搜索方向P0,p
vector x,x0; //最优点和初始点
double t=1; //直线搜索的初始步长=1
x=xx; //x0
f=vecFun(x); //f0=f(x0)
g=vecGrad(vecFun,x); //g0
p0=numMultiply(-1,g); //p0=-g0,初始搜索方向为负梯度方向
do{
x0=x;f0=f;g0=g;
x=lineSearch(x0,p0,t); //从点x出发,沿p方向作直线搜索
f=vecFun(x); //f=f(x)
g=vecGrad(vecFun,x); //g=g(x)
if(Himmulblau(x0,x,f0,f)==1){//满足H终止准则,返回最优点及最优解。
cout<<"* 总迭代次数："<<j<<" ----"<<endl;
minx=x; minf=f;
break;
}
else{ //不满足H准则
cout<<"* 第"<<j<<"次迭代";
showPoint(x,f); //显示中间结果x,f
if(k==n){ //若进行了n+1次迭代
k=0; //重置k=0,p0=-g
p0=numMultiply(-1,g);
t=vecMole(vecAdd(x,numMultiply(-1,x0)))/vecMole(p0);//下次直线
搜索步长
continue; //进入下一次循环,重新直线搜索
}
else{ //否则,计算共轭向量p
a=vecMole(g)*vecMole(g)/(vecMole(g0)*vecMole(g0));
p=vecAdd(numMultiply(-1,g),numMultiply(a,p0));
}
}
if(fabs(vecMultiply(vecConvert(p),g))<=c){//共轭梯度方向下降或上升量很
小
p0=numMultiply(-1,g);//p0=-g,k=0
k=0;
}
else if(vecMultiply(vecConvert(p),g)<-c){//共轭梯度方向下降并且下降量保
证
p0=p; //p0=p,k=k+1
++k;
}
else{ //共轭梯度方向上升并且下降量保
证
p0=numMultiply(-1,p);//p0=-p,k=k+1
++k;
}
t=vecMole(vecAdd(x,numMultiply(-1,x0)))/vecMole(p0);//下次直线搜索步长
}
while(++j);
}
///////////////////////////////////////////////////
///// main.h头文件 /////
///// 主程序文件，控制整个程序的流程 /////
///////////////////////////////////////////////////
#include "nonrestrict.h"
void printSelect(){
cout<<"************** 最优化方法 ***************"<<endl;
cout<<"*****************************************"<<endl;
cout<<"*** 请选择： ***"<<endl;
cout<<"*** 1. 无约束最小化问题(共轭梯度法) ***"<<endl;
cout<<"*** 2. 约束最小化问题(H乘子法) ***"<<endl;
cout<<"*** 3. 退出(exit) ***"<<endl;
cout<<"*****************************************"<<endl;
}
void sub1(){
char key;
cout<<"--------------------共轭梯度法求无约束最小化问题----------------"<<
endl;
cout<<"步骤:"<<endl;
cout<<"◆ 1. 输入f(x)及其导数.(参考function.h文件说明)"<<endl;
cout<<"-----确认是否已输入<目标函数>及其<导数>? (Y/N)";
cin>>key;
if(key=='N' || key=='n')return;
else if(key=='Y' || key=='y'){
vector x0; //起始点
int m;
cout<<"◆ 2. 起始点X0初始化"<<endl<<"-----请输入X0的维数:";
cin>>m;
x0=vecCreat(1,m);
vector minx;//求得的极小点
double minf;//求得的极小值
Fletcher_Reeves(x0,minx,minf);
cout<<"◆ 最优解及最优值:";
showPoint(minx,minf);
}
}
void sub2(){
char key;
cout<<"------------------ H乘子法求约束最小化问题 -----------------"<<endl
;
cout<<"步骤:"<<endl;
cout<<"◆ 1. 输入f(x)及其导数.(参考function.h文件说明)"<<endl;
cout<<"-----确认是否已输入<目标函数及导数>和<约束条件>? (Y/N)";
cin>>key;
if(key=='N' || key=='n')return;
else if(key=='Y' || key=='y'){
vector x0; //起始点
int m;
cout<<"◆ 2. 起始点X0初始化"<<endl<<"-----请输入X0的维数:";
cin>>m;
x0=vecCreat(1,m);
vector minx;//求得的极小点
double minf;//求得的极小值
Hesternes(x0,minx,minf);
showPoint(minx,minf);
}
}
void main(){
int mark=1;
while(mark){
printSelect();
int sel;
cin>>sel;
switch(sel){
case 1:
sub1();
break;
case 2:
sub2();
break;
case 3:
mark=0;
break;
};
}
}
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